复分析 部分题型整理
哈哈我学不完啦
Ch1 复数与复变函数
1.1 复数的定义及其运算
证明复数不等式
合理利用三角不等式（命题1.1.4，p3）
1.2 复数的几何表示
求几何图形对应的复数方程
- 习题1.2.14
用复数证明几何定理
(感觉不是很重要，就不上图了)
- 例1.2.1
- 例1.2.2
1.3 扩充平面和复数的球面表示
用球面表示求距离/证明性质
貌似都是爆算……
Ch2 全纯函数
2.1 复变函数的导数
2.2 C-R 方程
研究函数可微性
法1：用定义
- 习题2.1.1
法2：用实可微 + C-R方程（\(\Leftrightarrow \frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=0\)）
- 例2.2.5
- 例2.2.6
研究函数\(f(z)=e^{-|z|^2}\)
证明是/不是调和函数
法1：用定义
法2：用 \(u\in C^2(D),\Delta u=4\frac{\partial ^2 u}{\partial z \partial \overline z}\)
2.4 初等全纯函数
单值解析分支存在性
定理：
（PPT 4,5 - P6）
定理：如果D是不包含原点和无穷远点的单连通域，那么Logz在D上有单值全纯分支。（PPT 4,5 - P9，书本 P54）
根号多值函数的单值解析分支问题
定理：
单值解析分支求值
法1：已知一个值，利用简单路径辐角求其他值
法2：直接计算
共形映射区域变换
- 例2.4.5
- 例2.4.6
2.5 分式线性变换
区域变换
法1：利用边界
- 例2.5.11
- 习题2.5.3
充分性：利用该映射把实轴映为实轴，找 \(z_1,z_2,z_3\rightarrow w_1,w_2,w_3\) 直接算出分式线性变换，再利用唯一性。
法2：利用对称点
- 例2.5.15
- 例2.5.16
- 例2.5.17
法3：找对应点，待定系数
- 习题2.5.20
法4：结合共形映射和分式线性变换（不知道怎么归类捏）
- 习题2.5.17
- 习题2.5.18
Ch4 全纯函数的 Taylor 展开及其应用
4.4 辐角原理和 Rouche 定理
求零点个数
利用 Rouche 定理
注意选取函数 \(f(x),g(x)\)，记得做必要的放缩。
- 例4.4.12
- 例4.4.13
利用辐角原理
先取简单闭曲线，证明简单闭曲线上没有零点，再计算围绕简单闭曲线走一圈的辐角变化，用辐角原理解零点个数。
- 例4.4.14