顺序与链式二叉树的原理、应用与实现(万字长文)

2024-08-05 22:17 由 HJfjfK 发表于 #其他

一、树概念及结构
二、二叉树概念及结构
三、二叉树的顺序结构及实现
四、二叉树链式结构的代码实现

一、树概念及结构

树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i
<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间
的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法
等。简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
    struct Node* _firstChild1;    // 第一个孩子结点 
    struct Node* _pNextBrother;   // 指向其下一个兄弟结点 
    DataType _data;               // 结点中的数据域
};

树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

二、二叉树概念及结构

概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

或者为空
由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

二叉树不存在度大于2的结点

二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

特殊的二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k -1，则它就是满二叉树。
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

二叉树的性质

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^i-1个结点.

若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1.

层数    最大节点数
h = 1  2^0 == 1
h = 2  2^1 == 2
h = 3  2^2 == 4
...
h = h  2^(h-1) = x个

性质总结:
1.即每一层的最大节点数为x = 2^(h-1)
2.每一层的最大节点数都是之前所有层的和+1.
	即所有节点的和 = 最大层的下一层的最大节点书-1
	即n=2^h -1 
3.对n=2^h-1 同时取对数,得到:
	log₂(n+1) = h
  即高度h等于log₂(n+1)

对任何一棵二叉树, 如果叶结点(度为0)个数为n₀, 度为2的分支结点个数为n₂,则有n₀＝n₂ ＋1
若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log₂(n+1).
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对
于序号为i的结点有：
1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
2. 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
3. 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空
间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺
序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是
链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所
在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前简单二叉树一般都是二叉链，红黑树等会用到三叉链。

typedef int BTDataType; 
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
	  struct BinTreeNode* _pLeft;  // 指向当前节点左孩子 
    struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子 
    BTDataType _data; // 当前节点值域
}
 
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲 
    struct BinTreeNode* _pLeft;   // 指向当前节点左孩子 
    struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
    BTDataType _data; // 当前节点值域

三、二叉树的顺序结构及实现

二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结
构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统
虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

堆的概念及结构

将根节点是最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点是最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的作用:

选数
- 排序
- topK问题(N个数中,找最大或最小的前k个)

堆的性质：

堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。
大堆:树中所有父亲都大于等于孩子

小堆:树中所有父亲都小于等于孩子

计算孩子与父亲的下标关系

1. 通过父亲得到左右孩子的下标

leftchild = parent*2+1
rightchild = parent*2+2

2. 通过孩子找到父亲的下标

前提,需要知道自己是左孩子还是右孩子

如何得知自己是左孩子还是右孩子?

下标的逻辑关系:

左孩子一定是奇数位
右孩子一定是偶数位

可以得到

parent = (leftchild - 1)/2
parent = (rightchild - 2)/2

根据计算机取整规则(向下取整):(左右孩子下标-1)/2的值是一样的

因此计算父亲下标的统一规则

parent = (child - 1) / 2

堆的逻辑结构是一颗完全二叉树

堆的物理结构是数组,

逻辑结构感性说明:想象的结构,图形

物理结构:实际存储结构,内存中的存储方式

判断数组是不是堆

方法:(画图)转成完全二叉树,看满不满足堆的条件

依据:任何一个数组都可以看作是完全二叉树,但完全二叉树不一定是堆

堆的代码实现

1. 向上调整算法

用途

插入(在堆的前提下插入新元素)

时间复杂度:O(log₂(n))

分析:最坏要走到顶点,即高度次log₂(n+1),最好是插入就满足,不用调整,即O(1)次

代码实现

大堆版本

void AdjustUp(HeapDataType* a, int child)
{
	assert(a);
	int parent = (child - 1) / 2;
	//防越界,父可以为0,儿要大于0
	while (parent >= 0 && child > 0 && a[child] > a[parent]) //小堆:a[child] < a[parent]
	{														  
		Swap(&a[child], &a[parent]);
		//更新
		child = parent; 
		parent = (child - 1) / 2;
	}
}

2. 向下调整算法

用途:

删除堆的某个元素
无序数组建堆(最快方法)

给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整
成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};

时间复杂度:O(log₂n)

分析:最坏情况是从堆顶调整到堆底.即高度次

代码实现

前提：左右子树是堆

适合建堆：递归从最小父亲开始（虽然可以从最小孩子）

//大堆版本
void AdjustDown(HeapDataType *a,int size, int parent) 
{
	//假设左孩子大
	int child = parent * 2 + 1;
	
	//调整到叶子就结束
	while (child < size) //左孩子不存在,右孩子一定不存在
	{
	  //选出最大孩子 --- 如果右孩子更大,说明假设错了,更新
		if (child + 1 < size && a[child] < a[child + 1]){
			child++;
		}
		//我小于我最大的孩子,就要交换,让他来当父亲,我当儿子 --- 因为大堆要选出最大的  
		if (a[child] > a[parent])
		{						 
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

3. 堆的创建

给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个大堆。

int a[] = {1,5,3,8,7,6};

代码实现

//接收一个堆指针(输出型参数)，一个数组，一个数组大小
void HeapCreate(Heap *ps, HeapDataType *a, int size)
{
	assert(ps);
	
	//1. 开辟堆中数组空间
	ps->a = (HeapDataType *)malloc(size * sizeof(HeapDataType));
	if (ps->a == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		exit(1);
	}
	memcpy(ps->a, a, size *sizeof(HeapDataType));//拷贝数组过去
	ps->size = size;
	ps->capacity = 2 * size;
	
	//2. 建堆
	//从最小父亲开始向下调整
	//循环，直到父亲/孩子不为0
	int parent = (size - 1 - 1) / 2;
	while (parent >= 0)
	{
		AdjustDown(ps->a, ps->size, parent);
		parent--;
	}
}

建堆时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的
就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：

因此：建堆的时间复杂度为O(N)。

4. 堆的插入

先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。

代码实现

void HeapPush(Heap *ps,HeapDataType x)
{
	assert(ps);
	
	//考虑扩容
	if (ps->size == ps->capacity){
		int newCapacity = ps->capacity == 0 ? 4 : 2 * ps->capacity;
		HeapDataType *tmp = (HeapDataType *)realloc(ps->a, newCapacity * sizeof(HeapDataType));
		if (tmp == NULL){
			perror("realloc fail!");
			exit(-1);
		}
		ps->a = tmp;
		ps->capacity = newCapacity;
	}
	
	ps->a[ps->size] = x;
	ps->size++;
	AdjustUp(ps->a, ps->size - 1);
}

5. 堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调
整算法。

代码实现

void HeapPop(Heap *ps)
{
	assert(ps);
	assert(ps->size > 0); // 保证堆中存在数据
	Swap(&ps->a[ps->size-1], &ps->a[0]);
	ps->size--;
	AdjustDown(ps->a,ps->size, 0);
}

6. 堆的其他功能 -- 代码实现

Heap.h

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#pragma once

#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>
#include<string.h>

typedef int HeapDataType;

typedef struct Heap
{
	HeapDataType *a;
	int size;
	int capacity;
	//顺序表思想
}Heap;

void HeapPrint(Heap *ps);
void HeapInit(Heap *ps);
void HeapDestroy(Heap *ps);
void HeapPush(Heap *ps,HeapDataType x);
void HeapPop(Heap*ps);
int HeapSize(Heap *ps);
bool HeapEmpty(Heap *ps);
//接受一个堆，数组， 数组大小。建一个堆
void HeapCreate(Heap*ps, HeapDataType *a, int size);
void HeapSort(HeapDataType *a, int size);
void AdjustDown(HeapDataType *a, int size, int parent);
void AdjustUp(HeapDataType *a, int child);
void Swap(HeapDataType *p1, HeapDataType *p2);

Heap.c

#include"Heap.h"

void Swap(HeapDataType *p1, HeapDataType *p2){
	HeapDataType tmp = 0;
	tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}


void HeapPrint(Heap *ps){
	assert(ps);
	for (int i = 0; i < ps->size; i++)
	{
		printf("%d ", ps->a[i]);
	}
}


void HeapInit(Heap *ps){
	assert(ps);
	ps->a = NULL;
	ps->size = 0;
	ps->capacity = 0;
}



void HeapDestroy(Heap *ps){
	assert(ps);
	free(ps->a);
	ps->capacity = ps->size = 0;
}



//选数相当快，只需要logN次
HeapDataType HeapTop(Heap *ps){
	assert(ps);
	assert(ps->size > 0);
	return ps->a[0];
}


int HeapSize(Heap *ps){
	assert(ps);
	return ps->size;
}


bool HeapEmpty(Heap *ps){
	assert(ps);
	return ps->size == 0;
}

堆的应用

堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

建堆
升序：建大堆
降序：建小堆
利用堆删除思想来进行排序

建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。

堆排序代码实现

HeapSort.c

#include"Heap.h"


void HeapSort(HeapDataType *a, int size)
{
	assert(a);
	// ---- 向下调整算法建堆  ----
	//时间复杂度O(n)
	int parent = (size - 1 - 1) / 2;
	while (parent >= 0)
	{
		AdjustDown(a, size, parent);
		parent--;
	}
	// ---- 选数 ----
	//时间复杂度O(n*logN),好像是说n个数都要高度次调整

	//int end = size - 1;//
	while (size>0)
	{
		Swap(&a[0], &a[size-1]);//选数,选完就少一个
		size--;
		AdjustDown(a, size, 0);//
	}

}

时间复杂度分析

/*
向下调整算法建堆时间复杂度计算
假设满二叉树树高度h
各层的节点数为
第一层 2 ^ 0               ------向下调整h-1次
第二层 2 ^ 1               ------向下调整h-2次
第三层 2 ^ 2               ------向下调整h-3次
...    ... 
第h - 1层  2 ^ (h - 2)     ------向下调整1次
第h层  2 ^ (h - 1)

向下调整算法建堆是从最小父亲开始，即第h-1层的最后一个节点 parent = (size-1-1)/2
最坏情况下所有节点需要执行的次数为
f(h) = 2^(h-2)*1 + 2^(h-3)*2 + ... + 2^1*(h-2) + 2^0*(h-1)    错位相减
2*f(h) = 2^(h-1)*1 + 2^(h-2)*2 + ... + 2^2*(h-2) + 2^1*(h-1)
作差、合并得f(h) = 2^h -h-1
其中 满二叉树节点数N = 2^h-1，即h = log(N+1) 代入得
f(N) = N - 1 - log(N+1)  ， 舍去logN(数量级)
所以O(n) = n

-------------------------------------------------------------------------------
而向上调整算法建堆时间复杂度比较吃亏，见图
假设满二叉树树高度h
各层的节点数为
第一层 2 ^ 0               
第二层 2 ^ 1               ------向上调整1次
第三层 2 ^ 2               ------向上调整2次
...    ...
第h - 1层  2 ^ (h - 2)     ------向上调整h-2次
第h层  2 ^ (h - 1)         ------向上调整h-1次
计算方法还是错位相减，由图显然可发现向上调整算法执行次数数量级明显提高
不再计算
O(n) = n*logN



总结：向下调整算法跳过最下层最多节点层，且从下层开始节点多执行次数少。快
	向上调整算法从上开始从节点少往节点多执行次数成倍增加，前面的加起来都没最后一层多，慢
*/


//建堆---选数，放到最后，排除掉，重新选数

//合计时间复杂度    O(n + n*logN) = O(n*logN)

TOP-K问题

TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能
数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

用数据集合中前K个元素来建堆
前k个最大的元素，则建小堆
前k个最小的元素，则建大堆
用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

代码示例

TopK.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Heap.h"
#include<time.h>

//取前K个最大数
#define K 10

void TopK()
{
	
	int n = 10000;//int n = 10000;//数据量
	int randMax = 10000;//int randMax = 10000;
	int minHeap[K] ;
	//int K = 100;

	memset(minHeap, 0, sizeof(minHeap));//初始化数组,且用sizeof(arr)---不用取地址
	srand((size_t)time(0));//不用加size_t也行，NULL实际上会被time强制转换成(void)0
	
	//TopK问题思路s
	//建一个大小为K的堆

	FILE *fin = fopen("data.txt", "w");
	if (fin == NULL)
	{
		perror("fopen fail");
		return;
	}

	//随机写入数据，rand ， 使用fprintf("fout","%d ",)

	int randK = K;//int randK = K;
	for (int i = 0; i < n ;i++)
	{
		int val = rand() % randMax;  //最大值不超过randMax
		if (val % 3 == 0 && randK-- > 0) 
		{
			val = randMax + randK;   //插入自定义最大值
		}
		fprintf(fin, "%d ", val);
	}
	//如果插入的最大值不够K个，就在末尾补上  --------出现的概率很小，忽略
	while (randK-- > 0)
	{
		fprintf(fin, "%d ", randMax+randK);//注意分隔符，分隔给人看的，使用空格或\n方便用fscanf默认的分隔符识别
	}
	fprintf(fin, "%d ", 99999); //--- 验证能否插入且插入到最后

	fclose(fin);


	//for (int i = 0 ; i < K; i++)
	//{
	//	AdjustDown(minHeap, K, 0);
	//}

	FILE *fout = fopen("data.txt", "r");//重置文件指针
	if (fout == NULL)
	{
		perror("fopen fail");
		return;
	}



	int tmp;
	while (fscanf(fout, "%d", &tmp) != EOF) //注意，由于设置了scanf的默认分隔符空格或\n，随意不用在格式%d后带分隔符识别
	{
		//从文件中提取数据
		//提一个就和堆顶比较一次
		//随着文件指针走下去会比较完文件所有数据
		//ASCII文件使用fscanf("流","格式","dest");
		if (tmp >minHeap[0])
		{
			minHeap[0] = tmp;
		}
		AdjustDown(minHeap, K, 0);//换一次调堆一次
	}
	fclose(fout);

	for (int i = 0; i < K; i++)//打印数组
	{
		printf("%d ", minHeap[i]);
	}
}

四、二叉树链式结构的代码实现

二叉树的遍历

前序、中序以及后序遍历
学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉
树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。遍历
是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。

按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：

前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为
根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在
层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层
上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

代码实现

Tree.h

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#pragma once

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>

//树的遍历

//根据不同的递归遍历方法  访问  每个树（结构体）的data和左右孩子  进行操作。

//每次递归到一颗新树（每个节点都是一颗树），都要先判断是否空树 ---- 以防止野指针错误


//---- 创建二叉树 ----

typedef int BTDataType;

typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType data;
	struct BinaryTreeNode *left;  //left sub tree
	struct BinaryTreeNode *right; //right sub tree
}BTNode;


/*
node->data = x;
node->left = NULL;
node->right = NULL;
*/
BTNode* BuyBTNode(BTDataType x);//构建值为x的节点


/*
printf("%d", root->data);
PrevOrder(root->left);
PrevOrder(root->right);
*/
void PrevOrder(BTNode *root);//先根遍历


/*
PrevOrder(root->left);s
printf("%d", root->data);
PrevOrder(root->right);
*/
void InOrder(BTNode *root); //中根遍历


/*
PrevOrder(root->left);
PrevOrder(root->right);
printf("%d", root->data);
*/
void PostOrder(BTNode *root); //后根遍历

void LevelOrder(BTNode *root); //层序遍历


/*
return BTSize(root->left) + BTSize(root->right) + 1;
*/
int BTSize(BTNode* root); //求二叉树节点个数


/**/
int BTLeafSize(BTNode* root); //求二叉树叶子节点个数


int BTHeight(BTNode *root);//求二叉树高度

int BTLevelKSize(BTNode *root, int k);//计算二叉树第k层节点

BTNode *BTFind(BTNode* root, BTDataType x); //二叉树查找某节点地址

void BTDestroy(BTNode*root); //二叉树销毁

BTNode * rebuildBinaryTree(BTDataType* str, int *pi);  //构建一颗二叉树, pi为数组的下标地址


bool isBTComplete(BTNode *root);

构建二叉树与基本功能

tree.c


#include"Tree.h"


/*创建一个值为x的二叉树节点*/
BTNode* BuyBTNode(BTDataType x)    //创建值为x的节点
{

	BTNode *node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));//使用指针要指向实际空间
	if (!node)
	{
		perror("malloc fail!");
		exit(1);
	}
	node->data = x;
	node->left = NULL;
	node->right = NULL;
	return node;
}

/*前序遍历*/
void PrevOrder(BTNode *root) //previous  order顺序   NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称
{
	if (!root )
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
							  
	printf("%d ", root->data);
	PrevOrder(root->left);
	PrevOrder(root->right);

}


/*中序遍历*/
void InOrder(BTNode *root)  // ..中
{

	if (!root )
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}

	InOrder(root->left);
	printf("%d ", root->data);
	InOrder(root->right);
}



/*后续遍历*/
void PostOrder(BTNode *root) // post- 前缀  ..之后   ..后面  ..后
{
	if (!root )
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}

	PostOrder(root->left);
	PostOrder(root->right);
	printf("%d ", root->data);

}


/*求二叉树所有节点个数*/
int BTSize(BTNode* root)
{
/*
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}

	//思想：左子树 和 右子树 和 自己 的节点数 的和
	return BTSize(root->left) + BTSize(root->right) + 1;
*/

	//两个重复语法可以合并
	return !root ? 0 : BTSize(root->left) + BTSize(root->right) + 1;

}



/*求二叉树叶子节点个数*/
int BTLeafSize(BTNode* root)
{
	if (!root)
	{
		return  0;
	}
//思想：左右节点为空即为叶子
	if(!root->left && !root->right)
	{
		return 1;
	}

	return BTLeafSize(root->left) + BTLeafSize(root->right);

}



/*求二叉树高度*/
int BTHeight(BTNode *root)
{
	if (!root)
	{
		return 0;
	}



	//思路：比较左右子树高度，不要小的  只有关系运算符能够实现：比较两边选一边舍弃另一边

	//方法一：
	//return BTHeight(root->left) > BTHeight(root->right) 
	//	? BTHeight(root->left) + 1 
	//	: BTHeight(root->right) + 1;
/*
	点评；问题很大，递归之后栈帧会销毁，数据不再保存，
		  每次递归都会计算两次子树高度，每个子树高度计算都是指数级*/


	//优化：方法二：

	int leftHeight = BTHeight(root->left);
	int rightHeight = BTHeight(root->right);
	return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
/*	点评:通过记下当前栈帧数据，避免重复计算*/
}



/*求二叉树第k层节点个数*/
int BTLevelKSize(BTNode *root , int k)
{
	/*遇到第k层或空怎么做*/
	if (!root)  
	{
		return 0;
	}

	if (k == 1)   //最后一层，第k层
	{
		return 1;
	}

	/*没到第k层怎么做*/
	return BTLevelKSize(root->left,k-1) + BTLevelKSize(root->right,k-1) ;  //不是第k层，继续深入，找到第k层
	//为什么是k-1，因为传的是k
}



/*二叉树查找*/
BTNode *BTFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	if (!root )
	{
		return NULL;
	}

	if (root->data == x)
	{
		return root;
	}

	BTNode*left = BTFind(root->left ,x);
	if (left)
	{
		return left;
	}
	
	BTNode*right = BTFind(root->right,x);
	if (right)
	{
		return right;
	}

	//可以写成下面这种形式，看起来好看
/*
	if (right)
		return right;)*/
	return NULL; //root ！=NULL ， 值不为x ，左右子树找不到，返回空
}


/*构建一个二叉树*/
BTNode *rebuildBinaryTree(BTDataType* str, int *pi)  // pi为数组的下标地址
{
	if (str[*pi] == '#')
	{
		(*pi)++;
		return  NULL;
	}
	BTNode*root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	root->data = str[(*pi)++];
	root->left = rebuildBinaryTree(str, pi);
	root->right = rebuildBinaryTree(str, pi);

	return root;

}



/*二叉树销毁*/
void BTDestroy(BTNode*root) /*一级指针传值，调用后需要在函数外置空root*/
{
	if (!root)
	{
		return;
	}
	BTDestroy(root->left);
	BTDestroy(root->right);
	free(root);
	root->left = root->right = NULL;
}


/*
遍历命名

N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）

根据访问结点操作发生位置命名：
① NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称（先序遍历））
——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
② LNR：中序遍历(Inorder Traversal)
——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
③ LRN：后序遍历(Postorder Traversal)
——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

前三种次序与后三种次序对称

*/

中序遍历(非递归)

    vector<int> inorderTraversal(TreeNode* root) {
        vector<int> v;
        stack<TreeNode*> st;
        TreeNode* cur = root;
        while(cur || !st.empty())
        {
            while(cur)
            {
                st.push(cur);
                cur = cur->left;
            }
            TreeNode* top = st.top();
            v.push_back(top->val);
            st.pop();

            cur = top->right;

        }
        return v;
    }

层序遍历



#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Tree.h"
#include"Queue.h"


void LevelOrder(BTNode *root)
{
	//通过队列实现
	Queue queue;//不带指针==给空间 ， 带指针==只给指针空间，成员无空间
	QueueInit(&queue);
	if (root)
		QueuePush(&queue, root);

	//通过队列缓存子树滚动数据实现遍历
	while (!QueueEmpty(&queue))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&queue);//把数据从队列中取出
		printf("%d ", front->data);
		QueuePop(&queue);
		if (front->left)
		{
			QueuePush(&queue, front->left);
		}
		if (front->right)
		{
			QueuePush(&queue, front->right);
		}
	}
	QueueDestroy(&queue);

}


void LevelOrder2(BTNode *root)
{
	if (!root)
	{
		return;
	}
	Queue queue;
	QueueInit(&queue);
	int levelSize = 0;

	QueuePush(&queue, root);
	levelSize = 1;
	while (!QueueEmpty(&queue))
	{
		while (levelSize--)
		{
			BTNode* front = QueueFront(&queue);
			printf("%d ", front->data);
			QueuePop(&queue);
			if (front->left)
				QueuePush(&queue, front->left);
			if (front->right)
				QueuePush(&queue, front->right);
		}
			printf("\n");
			levelSize = QueueSize(&queue);

	}

	QueueDestroy(&queue);
}

节点个数

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Tree.h"

int TreeSize(struct BinaryTreeNode *root)
{
	return !root ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}

void _preorderTraversal(struct BinaryTreeNode *root, int *str, int* pi)
{
	if (!root)
	{
		return ;
	}
	str[(*pi)++] = root->data;
	_preorderTraversal(root->left, str, pi);
	_preorderTraversal(root->right, str, pi);
}

int* preorderTraversal(struct BinaryTreeNode* root, int* returnSize){

	*returnSize = TreeSize(root);
	int *a = (int*)malloc(*returnSize * sizeof(int));
	int i = 0;
	_preorderTraversal(root, a, &i);
	return a;
}

判断是否完全二叉树

#include"Tree.h"
#include"Queue.h"

bool isBTComplete(BTNode *root)
{
	if (!root)
	{
		return false;
	}
	Queue queue;
	QueueInit(&queue);
	QueuePush(&queue, root);

	while (!QueueEmpty(&queue))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&queue);
		QueuePop(&queue);
		if (!front) //一定存在下一层节点，所以直接跳出去，不用插入所有节点
		{
			QueuePop(&queue);
			break;
		}
		QueuePush(&queue, front->left);
		QueuePush(&queue, front->right);
	}

	while (!QueueEmpty(&queue))
	{
		if (QueueFront(&queue))
		{
			QueueDestroy(&queue);
			return false;
		}
		QueuePop(&queue);
	}
	QueueDestroy(&queue);
	return true;
}

判断是否是子树

#include<stdio.h>
struct TreeNode
{
	int val;
	struct TreeNode* left;  //left sub tree
	struct TreeNode* right; //right sub tree
};

bool isSubtree(struct TreeNode* root, struct TreeNode* subRoot){
	if (subRoot == NULL)
	{
		return true;
	}

	if (root == NULL)
	{
		return false;
	}

	if (root->val == subRoot->val) //如果相等，且是相同子树，返回真
	{
		if (isSameTree(root, subRoot))
		{
			return true;
		}
	}

	return isSubtree(root->left, subRoot)
		|| isSubtree(root->right, subRoot);
}

判断两棵树是否相同相同

#include<stdio.h>
struct TreeNode
{
	int val;
	struct TreeNode* left;  //left sub tree
	struct TreeNode* right; //right sub tree
};

bool isSameTree(struct TreeNode* p, struct TreeNode* q){
	if (p == NULL && q == NULL)
	{
		return 1;
	}
	else if (p == NULL&&p != q || q == NULL && p != q)
	{ /*注意逻辑运算先后顺序，整个if-else是判断有1个NULL以上为前提，运算符要求先有空*/
		//可以优化成 p == NULL && q == NULL,因为已有前提;
		return 0;
	}

	if (p->val != q->val)
	{
		return 0;
	}
	else
		return isSameTree(p->left, q->left) && isSameTree(p->right, q->right);
}

两个树是否对称

#include "Tree.h"


bool _isSymmetric(BTNode *root1, BTNode *root2)
{
	if (!root1 &&!root2)
	{
		return true;
	}
	if (!root1 || !root2)
	{
		return false;

	}

	if (root1->data != root2->data)
	{
		return false;
	}

	return _isSymmetric(root1->left, root2->right) && _isSymmetric(root1->right, root2->left);
}


bool isSymmetric(BTNode *root)
{
	return !root || _isSymmetric(root->left, root->right);

}

两棵树是否对称2

 //检查左右子树是否对称
//检查方法:
//  1.两个节点都为空为对称 
//  2.两节点的值相等 && a节点左与b节点右对称 && a节点右与b节点左

class Solution {
public:
    bool isSymmetric(TreeNode* root) {
        if (root == nullptr)
            return true;
        return check(root->left, root->right);
    }
    bool check(TreeNode* p, TreeNode* q) {
        if (!q && !p)
            return true; // 两个都是空
        if (!q || !p)
            return false; // 两个都不是空的前提,其中一个为空,pass
        return check(p->left, q->right) && check(p->right, q->left) &&
               p->val == q->val;
    }
};

二叉树的直径

543. 二叉树的直径 - 力扣（LeetCode）

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */

/*
递归分解: 
    分别计算root左右节点的最大直径,然后求和与flag作比较+置换
    (每个节点都要这么做)
    flag是最长路径的节点个数,flag-1就是路径数
    (先计算节点数,最后再-1得到路径)

*/



class Solution {
public:
    int answer = 0; //最长经过的节点数
    int diameterOfBinaryTree(TreeNode* root) {
        answer = 1; //为空时满足return条件
        depth(root);
        return answer-1;
    }
    int depth(TreeNode * root ){
        if(root == nullptr) return 0;
        int L = depth(root->left); //root的左子树深度 = 左子树最长路径节点数
        int R = depth(root->right);//root的右子树节点数 = ...
        answer = max(L+R+1,answer);//左右连起来最长路径节点数,与旧值比较
        return max(L,R)+1;         //返回root的最长子树的深度
    }
};

单值二叉树

如果二叉树每个节点都具有相同的值，那么该二叉树就是单值二叉树

#include<stdio.h>
struct TreeNode
{
	int val;
	struct TreeNode* left;  //left sub tree
	struct TreeNode* right; //right sub tree
};

bool isUnivalTree(struct TreeNode* root){

	if (root == NULL)
	{
		return true;
	}

	if (root->left && root->left->val != root->val)
	{
		return false;
	}

	if (root->right && root->right->val != root->val)
	{
		return false;
	}

	return isUnivalTree(root->left) && isUnivalTree(root->right);
}

翻转二叉树

    TreeNode* invertTree(TreeNode* root) {
        if(root == nullptr) return nullptr;
        TreeNode* left = invertTree(root->left); 
        TreeNode* right = invertTree(root->right);
        root->left = right;
        root->right =left;
        return root;
    }

最大深度

    int maxDepth(TreeNode* root) {
        if(root == nullptr) return 0;
        return max(maxDepth(root->left),maxDepth(root->right))+1;
    }

用到的队列

Quque.h

#pragma once
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>
#include<assert.h>
//#include"tree.h"

struct BinaryTreeNode; //类型声明   ： 类型是可以声明的，只要变量名就可以---原理，搜索整个源码


typedef  struct BinaryTreeNode* QDataType;

typedef struct QueueNode
{
	struct QueueNode *next;
	QDataType data;
}QNode;

//控制变量结构体
//只有一个值，就不用定义结构体，有多个就定义结构题。

typedef struct Queue
{
	struct QueueNode *head; //队头，出队，头删
	struct QueueNode *tail; //队尾，入队，尾插
}Queue;
//是指针变量就传二级指针，是普通变量就传一级

void QueueInit(Queue *pq);
void QueueDestroy(Queue *pq);

void QueuePush(Queue *pq, QDataType x);
void QueuePop(Queue *pq);

QDataType QueueFront(Queue *pq);
QDataType QueueBack(Queue *pq);

int QueueSize(Queue *pq);
bool QueueEmpty(Queue *pq);

Queue.c

#include "Queue.h"


void QueueInit(Queue *pq)
{
	assert(pq);
	pq->head = NULL;
	pq->tail = NULL;
	

}

void QueueDestroy(Queue* pq)
{
	assert(pq);
	QNode * next = NULL;
	QNode *cur = pq->head;
	while (cur)
	{
		next = cur->next;
		free(cur);
		cur = next;
	}
	pq->head=pq->tail = NULL;
}

void QueuePush(Queue *pq,QDataType x)
{
	assert(pq);
	QNode *newnode = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));
	if (newnode == NULL)
	{
		perror("malloc fail ");
		exit(-1);
	}
	//先初始化再使用
	newnode->data = x;
	newnode->next = NULL;
	//单链表队列-尾插头删。
	if (pq->tail == NULL)//头尾都行，判断一个就可以了
	{
		pq->head = pq->tail = newnode;
	}
	else                             //尾插
	{
		pq->tail->next = newnode; //队尾指向的节点链接上新节点
		pq->tail = newnode;      //队尾指向新节点
	}
}

void QueuePop(Queue *pq)
{
	assert(pq);
	assert(!QueueEmpty(pq));
	if (pq->head->next == NULL)//只有一个节点
	{
		free(pq->head);//先释放
		pq->tail = pq->head = NULL;//后置空
	}
	else
	{
		QNode *next = pq->head->next;//记住下一个
		free(pq->head);//释放头节点
		pq->head = next;//下个节点成为新节点
	}
}

QDataType QueueFront(Queue *pq)
{
	assert(pq);
	assert(!QueueEmpty(pq));
	return pq->head->data;
}


QDataType QueueBack(Queue *pq)
{
	assert(pq);
	assert(!QueueEmpty(pq));
	return pq->tail->data;
}

int QueueSize(Queue *pq)
{
	assert(pq);
	QNode *cur = pq->head;
	int size = 0;
	while (cur)
	{
		size++;
		cur = cur->next;
	}
	return size;
}

bool QueueEmpty(Queue *pq)
{
	assert(pq);
	//return QueueSize(pq) == 0;
	return pq->head == NULL ;//只要有一个就可以了
	//head为空tail也为空
}

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一、树概念及结构

树的概念

树的相关概念

树的表示

二、二叉树概念及结构

概念

特殊的二叉树

二叉树的性质

二叉树的存储结构

三、二叉树的顺序结构及实现

二叉树的顺序结构

堆的概念及结构

堆的作用:

堆的性质：

计算孩子与父亲的下标关系

1. 通过父亲得到左右孩子的下标

2. 通过孩子找到父亲的下标

如何得知自己是左孩子还是右孩子?

下标的逻辑关系:

判断数组是不是堆

堆的代码实现

1. 向上调整算法

用途

时间复杂度:O(log2(n))

代码实现

2. 向下调整算法

用途:

代码实现

3. 堆的创建

代码实现

建堆时间复杂度

4. 堆的插入

代码实现

5. 堆的删除

代码实现

6. 堆的其他功能 -- 代码实现

Heap.h

Heap.c

堆的应用

堆排序

堆排序代码实现

HeapSort.c

时间复杂度分析

TOP-K问题

代码示例

TopK.c

四、二叉树链式结构的代码实现

二叉树的遍历

层序遍历

代码实现

Tree.h

构建二叉树与基本功能

tree.c

中序遍历(非递归)

层序遍历

节点个数

判断是否完全二叉树

判断是否是子树

判断两棵树是否相同相同

两个树是否对称

两棵树是否对称2

二叉树的直径

单值二叉树

翻转二叉树

最大深度

用到的队列

Quque.h

Queue.c

时间复杂度:O(log₂(n))